#头条创作挑战赛#

换元积分法有两类，前面老黄已经介绍了第一换元积分法，这里要继续分析第二换元积分法。

不论是第一换元积分法，还是第二换元积分法，它都是基于下面这个定理的：

定理：(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义，u=φ(x)在[a,b]上可导，且α≤φ(x)≤β，x∈[a,b]，并记f(x)=g(φ(x))φ’(x), x∈[a,b].

(第一换元积分法)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u)，则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x)，且F(x)=G(φ(x))+C,即

∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.

(第二换元积分法)若φ’(x)≠0, x∈[a,b]，则命题1可逆，即f(x)在[a,b]上存在原函数F(x)时，g(u)在[α,β]上也存在原函数G(u)，且G(u)=F(φ^(-1)(u))+C, 即

∫g(u)du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ^(-1)(u))+C.

这个定理理解起来相当烧脑。我们通常都是通过练习来理解掌握它的。这里有一个很讨厌的问题 ，就算你理解掌握了第一换元法，却依然很难理解第二换元法。甚至当你通过例题和练习，把第二换元法掌握起来了，回过头来再理解这个定理，依然会觉得云里雾里，不知所云。你知道这是为什么吗？

其实运用时和定理中的x和u是互换的。就是你把定理中关于第二换元法部分的“x”和"u"全部对调过来，应该就会明白了。方法老黄已经告诉你了，理解主要还是内在的东西，老黄就帮不了你了。下面我们先来证明这个定理的第二换元法部分。

证：若φ’(x)≠0, x∈[a,b]，则x=φ^(-1)(u)，且dx/du=1/(φ'(x)), 【如果内函数的导数非0，那么它的反函数就可导，而反函数的导数是原函数导数的倒数】

dF(φ^(-1)(u))/du=f(x)/(φ′(x))=(g(φ(x))φ′(x))/(φ′(x))=g(φ(x))=g(u).

∴∫g(u)du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ^(-1)(u))+C.【将u=φ(x)代入就有这个过程和结果】

不论如何，还是通过例题来学习更好理解。

例：求∫√(a^2-x^2 )dx (a>0).

它其实也是一个积分公式，限定a>0，主要是为了避免负数带来的麻烦，而如果a=0，问题本质就发生改变了。通过观察，可以发现，这个根式中，底数如果可以通过换元，利用1-(sinx)^2=(cosx)^2，就会简便得多。说干就干！

解：令x=asinu, |u|≤π/2, 【这个取值范围有两点作用，一是使x单调，因此才会有反函数；二是保证换元函数x的值域，就是原被积函数的定义域。你瞧，这里的x和u是不是和定理中的x,u是互相调换的】

则u=arcsin(x/a), √(a^2-x^2)=acosu, dx=d(asinu)=acosudu. 【做完这些准备工作，可以让下面的过程更加简便】

原积分=a^2*∫(cosu)^2du=a^2/2*(u+sinucosu)+C【余弦平方的不定积分是一个常用的积分公式的，一定要把它记起来，否则手撕很麻烦，得到的结果形式会有不同】

=a^2/2*(u+sinu√(1-(sinu)^2))+C【把结果写成只含有正弦而不含有余弦的形式，这样代入u关于x的表达式时，才可以直接得到关于x的函数】

=a^2/2*(arcsin(x/a) + x/a* √(1-(x/a)^2))+C

=a^2/2*arcsinx/a +x/2 *√(a^2-x^2 )+C.

下面再继续分享一道练习题。是练习题，自然是要你自己完成的了。

练习：求∫dx/√(x^2-a^2 ) (a>0). 【这也是一个积分公式】

解：令x=asect, 0

√(x^2-a^2)=atant, dx=d(asect)=asect·tant.

原积分=∫sectdt=ln|sect+tant|+C1【正割函数的积分公式也要记牢，否则会很难办。这里用C1，是因为后面这个常数还会有其它部分加入】

=ln|sect+√((sect)^2 t-1)|+C1【化为只含有正割函数的形式因为这样替入t的表达式时，可以直接得到关于x的函数】

=ln|x/a+√((x/a)^2-1)|+C1=ln|x/a+1/a*√(x^2-a^2 )|+C1=ln|x+√(x^2-a^2 )|+C.

最后利用了商的对数公式，等于对数的差，而后面的-lna被合并进了C中。

你学会了吗？还不会也不要紧，继续关注老黄的作品，下面还有好几个关于这方面内容，都是帮助大家理解这个知识的作品。