指数与对数函数关于切线和直线图像位置问题证明
为了彻底解决,指数与对数函数相关比值问题和单调性问题,我们这里统一做一个模型出来
并论证结论.
(a>0 且a不等于1 )
(a>0且a不等于1)
一:对数函数,指数函数与y=1,y=0的直线位置关系.
结论1: 若a>1,x>0的时候,指数函数永远在y=1的上方,即指数函数大于y=1恒成立
若a<1,x>0的时候, 指数函数永远在y=1的下方,即指数函数小于y=1恒成立
结论2: 若a>1, x>1, 对数函数永远在x=0的上方,即对数函数大于y=0恒成立
若a<1,x>1,对数函数永远在x=0的下方,即对数函数小于y=0恒成立.
结论1和结论2的证明:其实就是用各自的区间单调性即可证明,这里略.
结论1和结论2就是对单调性的几何一意义进行解释.
二: 对数函数/指数函数分别在(0,1),(1,0)切线的图形位置关系:
先给出结论: (1) >=Ina.x+1 (x=0,等号成立)
几何意义: 图像永远在切线y=Ina.x+1的上方,交点在(0,1)位置
(2):<=0 (x=1取等号 a>1),
几何意义: a>1, 对数图像永远在(1,0)切线的下方,交点在(1,0)位置
>=0 (x=1取等号,a<1)
几何意义: a<1, 对数图像永远在(1,0)切线的下方,交点在(1,0)位置
1.对数函数在(0,1)点切线与自身的位置关系证明过程:
这个是对数函数的导数公式,在P(0,1)位置,代入导数公式,得到切线斜率
k=Ina, 于是我们得到切线方程: y-1=kx 即: y=Ina.x+1, 现在我们来讨论 f(x)=与切线方程的位置关系.
(1) f(x)=>Ina.x+1 (恒成立问题) ,即f(x)上所有点要在切线y=Ina.x+1之上;
(2)f(x)= 求证过程: 构造一个新函数: g(x)==-Ina.x-1 ,要求(1),即需求g(x)>0,x恒成立的条件.即 -Ina.x-1>0,求x的取值范围. 因此,为了研究g(x)单调性,我们需要对g(x)进一步的求导: 得到g(x)'=Ina.-Ina=Ina(-1) ,由于Ina 无法知道正负性,所以还需要对a进行讨论: a Ina -1 g(x)' a>1 >0 x>0时 -1>0 >0 a>1 >0 x<0时 -1>0 <0 a<1 <0 x>0时 -1<0 >0 a<1 <0 x<0时 -1>0 <0 通过上表分析:我们知道了g(x)'的正负性就能判断g(x)的单调性了: 条件1: 当g(x)'>0的时候, g(x)单调递增; 即 a>1 x>0 或a<1 , x>0 条件2:当g(x)'<0的时候,g(x)单调递减; 即a>1,x<0 或 a<1,x<0 因为:g(0)=0,整理得到 () 1: a>1,x>0 g(x) 增函数 g(x)>g(0) ; a<1, x>0 g(x)增函数 g(x)>g(0) 2.a>1,x<0 , g(x)减函数 g(x)>g(0) ; a<1,x<0, g(x)减函数,g(x)>g(0); 合并如下得到 最后得到: >=Ina.x+1 (x=0,等号成立) 2.对数函数在(1,0)切线方程图像关系: 我们设:f(x)=,f(x)'=1/x *1/In(a) , 在(1,0)切线方程代入得到: y=1/Ina(x-1) 现在要判定 f(x)=,y=1/In(a)*(x-1)的位置关系 设g(x)=f(x)-y=-1/Ina* (x-1) ,则转化成我们要研究的函数 g(x)=-1/Ina*(x-1) 的单调性,这里g(1)=0 g(x)'=1/x *1/In(a)-1/Ina=-=(1/x-1),接下来讨论g(x)'的正负性,来判断g(x)单调性: a>0且a不等于1 1/Ina 1/x-1 x>0 g(x)' g(x) a>1 >0 x<1 时 >0 >0 增函数 a>1 >0 x>1时 <0 <0 减函数 a<1 <0 x<1时 >0 <0 减函数 a<1 <0 x>1时 x<0 x>0 增函数 整理得到: 1.a>1, x<1时, g(x)增函数,g(x) 2.a>1,x>1时,g(x)减函数,g(x) 因为g(1)=0 合并总结得到: 指数函数对于切点(1,0)的切线方程图像关系的结论 (1)a>1,x<1 或x>1时(x>0), g(x)= 即<=0 (x=1取等号,任意x), 几何意义: a>1时, 指数函数的图像要恒小于等于在(1,0)切线方程的图像. (2)a<1,x<1 或 x>1时 (x>0),g(x)>=g(1),即g(x)>=0恒成立, 即>=0(x=1时取等号,任意x): 几何意义: a<1,时指数函数的图像要恒大于在(1,0)切线方程的图像. 三: 应用举例: 比大小: 2.4/In0.8