微积分基础:导数(二)_微积分的导
导数的计算规则
（1）初等函数的导数
- 常数函数：
- 幂函数：
- 指数函数：
- 对数函数：
- 三角函数：
函数 | 原函数 | 导函数 |
常函数（即常数） | （C为常数） | |
指数函数 | ||
幂函数 | ||
对数函数 | ||
正弦函数 | ||
余弦函数 | ||
正切函数 | ||
余切函数 | ||
正割函数 | ||
余割函数 | ||
反正弦函数 | ||
反余弦函数 | ||
反正切函数 | ||
反余切函数 | ||
双曲函数 | ||
例：定义在?上的函数：
求导的具体步骤：
于是得到：。
（2）导数的四则运算
- 加法规则：
- 乘法规则：
- 除法规则：
- 链式法则（复合函数求导）：
高阶导数
导数的导数称为高阶导数。例如：
- 一阶导数：
- 二阶导数：
- n 阶导数：
高阶导数在物理学中常用于描述加速度、加加速度等。
导数的应用
- 求切线方程： 函数 f(x) 在点 x = a 处的切线方程为：
- 判断函数的单调性：
如果 f'(x) > 0 ，则 f(x) 单调递增；
如果 f'(x) < 0 ，则 f(x) 单调递减。
- 求极值：
如果 f'(a) = 0 且 f''(a) > 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极小值；
如果 f'(a) = 0 且 f''(a) < 0 ，则 f(x) 在 x = a 处有极大值。
- 优化问题： 导数可以用于求解最大值和最小值问题，例如在经济学中用于优化利润或成本。
示例
- 求函数的导数：
- 求函数的导数：