最近看到一组很有意思的公式（来自@省略o）

左边是等幂求和问题，即前n-1个正整数的m次幂之和，而右边的积分值恰好是黎曼Zeta函数在-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7和-8处的取值。

若记

那么以上一组等式可简写为：

其中是黎曼Zeta函数在负整数处的取值。

未做解析延拓前，黎曼Zeta函数在-m处有如下初等形式

我们分别以m = 1, 2, 3, 4, 5, 6为例进行说明。

首先有

对于右侧求和结果，计算n从0到1的定积分，有

积分值恰好就是黎曼Zeta函数在负整数z = -1, -2, -3, -4, -5和-6处的取值。即

如果写得不那么严谨，那么有

如果右侧的求和范围是前n个正整数的m次方，那么只要把积分范围改为-1到0即可。即

公式充满了一种对称的美感。

公式的证明

这组公式很有意思，如果有相关的数学储备的话，也很容易证明。

大家首先观察一下等式左边取值，很显然，按照“负-零-正-零“的规律交错变化。

数学中有个很著名的数列具有类似的性质——伯努利数。

伯努利数是怎么来的呢？伯努利数正是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利在研究等幂求和问题时提出的。

等幂求和问题，也就是计算如下表达式的问题：

哈哈，精准地回到了原问题！！！

伯努利数{Bn},n=0,1,2,3,...可通过如下函数的泰勒展开得到：

容易计算，前10个伯努利数分别为：

可以看到，从第三个伯努利数开始，就满足”正-零-负-零“的交错性质了。

伯努利数，正是联系黎曼函数和等幂求和问题的桥梁。

首先，记函数

那么显然有，

从而

这样就将等幂和问题转化为计算函数导数的问题。

另一方面，注意到函数f(x)是一个等比函数列，有

接下来考虑f(x)在x=0处的泰勒展开。

将f(x)改写成

而

于是

将右边无穷级数的乘积按照Cauchy展开，可得x^m前的系数

从而

故

根据排列组合数

上式可化简为

考虑到伯努利数满足性质

从而上式可继续化简为

即

于是我们有

我们可以再验证一下：

无误！

所以原等式转化为证明

这个也很简单。

为了计算Re(s)＜１时黎曼Zeta函数的取值，可以根据以下函数方程

当s=3，5，7，9等奇数时，右侧出现的余弦函数的取值为零，故

对应m = 2, 4, 6等偶数的情形。此时等式右侧的伯努利数B3、B5、B7、B9等都为零。上式成立。

对于m = 1, 3, 5等奇数的情形，令m = 2n-1，根据黎曼Zeta函数的函数方程，有

在正偶数2n处，黎曼Zeta函数的值为

代入上式化简，并结合2n = m+1，立得

证明完毕。