黎曼
黎曼和庞加莱也有很多相似之处。
都是直觉主义的典型代表。两人对严格证明都似乎偏弱，黎曼不用说了，庞加莱往往写完一篇论文就丢在一边甚至不知道为什么写它。
从成就上来说：
都是几何思维极其强大。黎曼的流形几何和庞加莱的拓扑学都是几何学史上不世出的创世之作，无人能及。
分析上，黎曼复分析实分析的综合成就让他足以竞争分析学史第一人。而庞加莱在自守函数上的伟大成就，同时也是微分方程史上最强大师。分析学上的伟大成就，也让庞加莱成为19C20C之交的数学领袖。
在代数学上黎曼庞加莱成就都偏弱，黎曼干脆是直接代数学空白，虽然黎曼对现代代数学产生深远影响，但毕竟只是间接的。
不过在数论上，黎曼就比庞加莱强太多了。
但在物理上，庞加莱比黎曼强了至少三四档，哈哈哈。
在数学教育上：或许是两人智商高出天际的缘故，虽然现代数学某种意义上都是黎曼庞加莱的追随者，但两人都没有直接的教育出伟大的学生。
在竞争对手上，黎曼经常被拿来和魏尔斯特拉斯比较，而庞加莱的对面则是希尔伯特。与黎曼庞加莱几何思维直觉主义针锋相对的，魏尔斯特拉斯希尔伯特都是典型的代数思维公理化算术化的代表。
黎曼和庞加莱一般被认为是现代数学影响最深的两个人物，两人间的许多相似性，耐人寻味。天才各有不同，但又是如此类似。
庞加莱
再考察一下庞加莱和黎曼的对比，很有意思的是，在数学上，很多方面，庞加莱几乎就是升级版黎曼。
1.拓扑学上：庞加莱建立了一般流形和复形上的拓扑学，从而彻底超越黎曼的原始的拓扑学奠基工作，成为现代拓扑学的真正创始人；
2.在流形理论上：庞加莱率先定义了流形的概念，比黎曼原始无明确定义的流形概念更进一步，深化了黎曼的工作，进一步将流形理论推入数学中心。
3.在复变函数上：庞加莱加强了黎曼单复变函数理论的工作，将黎曼曲面(一维复流形)推广到高维复流形，开创了多复变函数理论。
4.在黎曼曲面理论上：庞加莱将黎曼映射定理推广到黎曼曲面建立了单值化定理，超越了黎曼，成为数学中心。
5.在代数几何学上：庞加莱将黎曼关于代数曲线(黎曼曲面)的工作进一步推广到代数曲面上，加强了黎曼在代数几何上的工作，也为代数几何做出重大贡献。
6.在自守函数与微分方程上：黎曼超几何级数研究开创的常微分方程奇点理论是庞加莱自守函数与微分方程定性理论两项伟大成就的重要基础之一，庞加莱超越了黎曼！
很惊奇吧，哈哈哈，在数学上，很多方面，庞加莱可以说是黎曼的加强版。
虽然庞加莱有很少阅读其他数学家著作的说法，但从庞加莱这一大批个人数学生涯中最重要最伟大的成就中，很明显可以看到黎曼数学对庞加莱直接而深刻的影响。这就是数学的渊源和传承。
庞加莱和克莱因都是可以算是黎曼的学术继承人，克莱因直接是哥廷根教授，在函数论上全面继承了黎曼的学术遗产，而庞加莱则通过意大利学派间接的继承了黎曼的学术遗产，并做了全面的有深度的发展和推广。
庞加莱某种意义上，至少在数学不少领域，就是黎曼2.0版！
如果从历史的角度，只论纯数学成就，庞加莱还是比黎曼要弱一档的。庞加莱虽然有拓扑学，但无论几何，分析，数论，庞加莱是全面不如黎曼的。唯独代数庞加莱强于黎曼，但这是建立在黎曼直接代数成就为0的前提，而且庞加莱在代数上也远不如他在分析和几何拓扑上的工作。
毕竟黎曼才是那个开启者，黎曼以后的数学家包括庞加莱的相当大部分成就也都是在黎曼开创的大框架中发展与前进，那成就与地位庞加莱无法逾越。
但如果论及系统性，体系性，难度，全才全面度，丰富性，成果数量，庞加莱在数学上要胜过黎曼。
何况庞加莱大神一系列伟大的物理学成就，狭义相对论，天体物理三体问题，混沌理论等一系列开创式成就，综合数学物理，这直追爵爷的存在，这是黎曼大神不能比的。