函数的“4性”通常指单调性、奇偶性、周期性、对称性，它们是分析函数图像与性质的核心工具，贯穿于函数问题的求解始终。以下从定义、判定、性质及综合应用四个维度系统梳理：

一、函数的“4性”核心要点

1. 单调性（函数增减的“趋势”）

- 判定方法：

- 性质：

- 单调函数具有反函数，且反函数与原函数单调性一致；

- 复合函数单调性：“同增异减”（内外层函数单调性相同则递增，相反则递减）。

2. 奇偶性（函数图像的“对称”中心/轴）

- 定义：

- 奇函数： f(-x) = -f(x) （关于原点对称，定义域关于原点对称）；

- 偶函数： f(-x) = f(x) （关于 y 轴对称，定义域关于原点对称）。

- 判定步骤：

① 先看定义域是否关于原点对称（必要条件，不满足则非奇非偶）；

② 再验证 f(-x) 与 \pm f(x) 的关系。

- 性质：

- 奇函数 f(0) = 0 （若 0 在定义域内）；

- 偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上单调性相同；

- 奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。

3. 周期性（函数图像的“重复”规律）

- 定义：若存在非零常数 T ，使得对任意 x 有 f(x + T) = f(x) ，则 T 为周期，最小的正数 T 为最小正周期。

- 常见周期结论：

- 若 f(x + a) = f(x + b) ，则周期 T = |a - b| ；

- 若 f(x + a) = -f(x) 或 f(x + a) = \frac{1}{f(x)} ，则周期 T = 2|a| ；

- 奇函数 f(x) 满足 f(x + a) = -f(-x) ，则周期 T = 2|a| 。

4. 对称性（函数图像的“对称”特征，含轴对称与中心对称）

- 对称性与周期性的关系：

- 若函数关于 x = a 和 x = b 对称，则周期 T = 2|a - b| ；

- 若函数关于 (a,0) 和 (b,0) 对称，则周期 T = 2|a - b| ；

- 若函数关于 x = a 和 (b,0) 对称，则周期 T = 4|a - b| 。

二、“4性”的综合应用（解题核心思路）

1. 图像绘制与分析

- 利用奇偶性（对称作图）+ 单调性（局部趋势）+ 周期性（重复延伸）+ 特殊点（如零点、极值点），快速勾勒函数图像，解决不等式、零点个数等问题。

2. 不等式求解

- 利用单调性去掉函数符号（注意定义域），结合奇偶性转化变量（如 f(x) < f(y) ，奇函数+递增则 x < y ，偶函数+递增且 |x| < |y| ）。

3. 零点个数问题

- 结合周期性（周期内零点数×周期数）、对称性（对称区间零点对称）、单调性（单增/减函数零点至多1个），简化计数。

- 示例：周期为2的函数 f(x) 在 [-1, 1] 有2个零点，则在 [0, 100] 内零点个数为：

解：每个周期2个零点， [0, 100] 含50个周期，共 50×2 = 100 个（注意端点是否重复计数）。

4. 抽象函数性质推导

- 已知抽象函数的“4性”条件（如 f(x + 2) = -f(x) 且 f(-x) = f(x) ），推导其他性质（周期、对称关系等），再解决求值、不等式问题。

三、关键思想：“转化与化归”

- 将未知区间的问题通过周期性、对称性转化到已知区间；

- 将抽象函数问题通过“4性”赋予具体特征，转化为具体函数模型分析；

- 将复杂不等式、零点问题通过图像转化为直观的几何关系。

掌握函数“4性”的核心是理解其定义本质，并能灵活运用它们的联动关系（如周期与对称的转化、单调与奇偶的配合）。通过多分析具体函数（如三角函数、指数对数函数）的“4性”表现，可加深对抽象问题的理解，提升综合解题能力。