作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

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序

计算器在计算时，无论小数点后列举的小数再多，也终究不能穷尽这个无理数，机器毕竟是有限的。但是，尺规作图似乎可以轻而易举地实现，如下图。

!! 利用图中左右两种方法可以得到单位长度AD和FG的，在图中标注为红色线段。

尺规作图使我们可以对这样的无理数产生一种切实的掌控感和愉悦感。理论上确实无懈可击，上图的作图原理分别是由射影定理和勾股定理保证的。（这两个定理又是彼此等价的。）

可是现实的情况呢？

经常使用圆规的同学会发现，有时候圆规绘制的曲线在绘制起点处并不闭合，排除圆规两脚之间夹角松动的可能，我们仅仅考虑铅笔芯在纸面旋转过程中的损耗——铅芯长度究竟会对画圆造成多大的影响？

分析

!! 圆规初始状态

画一个理想的圆规示意图，长度、角度如图所示。我们假设，铅笔长度随所画弧长均匀损耗，即损耗函数为：

其中为磨损系数。那么经过弧长后实际半径由余弦定理可得

我们将式代入，得

我们得到一个半径平方的变化量，由圆规自身的隐藏的条件，，我们可以画出这个抛物线的大致图像：

圆规也不可能永远画下去，铅笔也会有用完的时候，所以的隐含条件

实际的情况的上界更小，因为不可能这个边消耗殆尽。

从几何的角度讲，或者的对称性（二次函数轴对称）更为直观——

如图，红色线段是损耗的部分，损耗前后圆规的半径由变为，半径与关于蓝色的高所在直线轴对称。这意味着理想圆规所画的曲线极径（在极坐标下），会先减少，再增加，出现反弹现象。这个临界点就是上图抛物线的对称轴：

如果放任不断增加，想象一下，此时圆规就穿过纸面，反向伸长，半径趋于无穷……

我们看一下圆规画出的“真实”图像，令

代入公式

此时的对称轴为，所以当时，单调递减。画出极坐标曲线

!! 逆时针旋转极径逐渐缩小

再看看半径“反弹”的情况，为了方便观察，其他参数不变，重新设置磨损系数（磨损系数放大为60倍）——

我们前文分析的反弹现象对应的正是原点附近的心形形状。大心套小心，无穷无尽。（这个曲线类似于上周发过的文章——杯中之爱——光学中的心形曲线）

改进

我们如何改进上面的圆规，使得它的误差更小呢？

首先我们要注意到函数的变化率——导数

这是一个关于的一次函数，零点是对称轴，即. 当在对称轴附近时，的导数接近于0；当远离对称轴时，导数变化迅猛。

我们可以从两个方面进行圆规的改进：

• 减小磨损系数，比如使用比较硬的铅笔（HB，2H等）。比较专业的圆规有可替换的钢针头；
• 让圆规绘图的一端尽量垂直纸面。这就是为什么我们平时见到的圆规并不是我们一开始讨论的理想模型，而是绘图的一端可以调整角度。

我们不妨开一下脑洞，如果让也变化，以此来弥补磨损，这样的函数是什么样子呢？

回到理想模型，我们令，即解得

借用不等关系得

凭借经验我们知道最后一个不等式是成立的：常见的圆规两脚长度相近。于是可以考虑反三角函数：

还是考虑最初始的参数设置，绘制出下图函数曲线，我们将纵轴做了适当的拉伸，否则函数过于水平。

整体的平均增长率为：

容易计算在取值范围的中点位置的斜率为

这意味着如果想通过调整来维持半径不变，需要比较精细的机械才能实现。

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