讨论这公式的文章太多了,不再叙述,直接上图上公式!

关键看思路!

一.向量场

二.散度的标准定义

余切空间 ：是切空间的对偶空间。它的元素是线性泛函，即接收一个切向量并返回一个实数的函数。

散度的计算过程强烈地依赖于将切向量转换为余切向量（对偶向量），并在对偶空间中进行操作。

三.笛卡尔坐标的散度公式推导

如果一个闭合曲面的净通量 大于零，我们可以立刻断定这个曲面内部必然存在 净源（正散度点占主导）。

如果一个闭合曲面的净通量 小于零，我们可以断定这个曲面内部必然存在 净汇。

如果一个闭合曲面的净通量 等于零，这并不意味着内部没有源和汇，而是意味着内部源产生的总量和汇吸收的总量恰好相等，达到了平衡。

注意:在微分几何中，散度并不是直接定义在矢量场上的。它是通过李导数 (Lie Derivative) 和体积形式 (Volume Form) ω 来定义的。体积形式是一个最高阶的微分形式，它给出了流形上的“体积”测量。

四.高斯定理（散度定理）

极坐标和球坐标下的表示

散度定理最根本的意义在于:它建立了一个矢量场在一个区域内部的“源”或“汇”的总量，与该矢量场穿过该区域边界净通量之间的等价关系,是微观和宏观之间的桥梁!