Langevin函数（Langevin function）是经典统计物理中描述顺磁性物质在外磁场中磁化强度的核心数学工具。

它以法国物理学家保罗·朗之万（Paul Langevin）命名，其形式为

mathcal{L}(x) = coth(x) - 1/x

其中：

x = μB/kT 是无量纲参数，表示磁矩 μ 在外磁场 B 中的能量与热运动能量 kT 的比值。

coth(x) 是双曲余切函数，定义为

物理背景

Langevin函数来源于经典顺磁性理论，假设：

1. 原子磁矩 vec{μ} 可自由取向。

2. 外磁场 vec{B} 与磁矩的相互作用能为

U = -vec{μ} vec{B}

3. 系统处于温度为 T 的热平衡态。

通过玻尔兹曼统计，磁矩沿磁场方向的平均投影 〈μ_z〉 为：

数学性质

1. 极限行为：

高温弱场（x << 1）：mathcal{L}(x) ≈ x/3，磁化强度与磁场成正比（居里定律）。

低温强场（x >> 1）：mathcal{L}(x) ≈ 1 - 1/x，磁化趋于饱和（所有磁矩沿磁场方向排列）。

2. 导数：

在 x → 0 时，导数为 1/3。

3. 奇函数：mathcal{L}(-x) = -mathcal{L}(x)，符合磁化方向随磁场反转的对称性。

应用示例

顺磁盐：如硫酸钆（Gd(SO)·8HO）在低温下的磁化曲线。

超导磁体校准：通过测量磁化强度与磁场的关系验证Langevin模型。

生物物理：描述磁性纳米颗粒在生物组织中的行为。

与量子理论的对比

量子力学中，磁矩空间取向量子化（如自旋-1/2系统），需用布里渊函数（Brillouin function）替代Langevin函数：

当 J → ∞（经典极限），布里渊函数退化为Langevin函数。

Langevin函数是连接微观磁矩行为与宏观磁化强度的桥梁，其简洁的解析形式深刻揭示了热涨落与磁场竞争的物理图像。