可视化微积分:微分形式或形式微分
一.坐标函数(coordinate Functions)
向量空间R与坐标上的点R:输入向量函数输出向量线性关系.
n流形上的点R与坐标函数R:输入坐标函数输出点
二.切空间和向量场
1.化曲为直:微处见直;微直线,微平面,微体积...
切:正切,流形中点P的切线斜率即导数
2.流形M中的切空间
流形M中过P点切向量的集合,就是一个切空间.
表示:Tp(M)或TpM
切空间与流形共形
切空间的元素为切空间中的向量
三.方向导数
n流形
点p
切向量Vp
函数f:R→R
流形中坐标函数f在p点沿向量Vp方向的变化率,即为f在点p沿Vp方向导数.
方向如何确定?
从函数的差商,来考察方向导数
1.坐标函数f:R^2→R和坐标函数f:R^3→R,TpM中方向导数
流形上坐标函数f在基向量上的方向导数
2.进一步拓展
f:R→R,Vp∈Tp(R)
偏微分算子:/x1,/x2...../xn,可以简写作1,2.....n或x,y,z...或x1,x2,...xn
D：协变导数，Nabla算子▽或联络。其作用是将一个张量场沿一个向量场的方向求导，结果得到一个同一类型的张量场。需要两个输入：一个指定方向的向量场X，一个要被求导的张量场Y，表示为DxY。D表示向量的平移或变化率，是向量的微分，是非固有的，可选择的（普通的方向导数+克里斯托弗尔符号构成的校正项）。
Dvf=df(v)=V(f),这只是在函数f(0阶张量场)这一个特例上的巧合！
Vp=∑vi/xi，是一个算子！
四. 微分形式
微分形式或形式微分，是外微分的一个特例！
函数f的微分df，理解成外微分算子作用在第0阶的结果（0-形式）。生成函数 f 的全微分，一个包含所有方向导数信息的对象(1-形式)。df 是函数 f 的等高线地图。与坐标无关的一个固有几何对象!
d是一个算子，关键看输入和输出！
如果它吃的是函数，那它就是在做形式微分，产出的是函数的全微分。
如果它吃的是形式，那它就是在做 外微分， 产出的是更高阶的形式。(吃0-形式是个特例)
[ 输入 ] -> [ 操作 d ] -> [ 输出 ]
函数 f -> d -> 1-形式 df
1-形式 ω -> d -> 2-形式 dω
2-形式 σ -> d -> 3-形式 dσ- 微分1-形式
对偶空间Tp(R)和Tp*(R)
对偶基
切矢量与余矢量
切空间与余切空间
对偶空间对偶基正交
微分1-形式定义:
f:R→R
f的1-形式为df
对矢量Vp,有
df属于余切空间即df∈Tp*(R)
在f在p点的微分:df(p)或dfp
df(v),吃进流形内一个向量,吐出一个标量(方向导数)!(相当于流形内两个矢量求内积)
f:标量函数(坐标函数)
df:余切向量场
V:正切向量场,流形中p点的相切的无数向量构成的向量空间
互为对偶场!
df(Vp):函数f的微分，在切向量Vp上的取值。
Vp[f]：切向量Vp作为算子，作用在函数f上。
df(Vp)=Vp[f]
本质上都是一样：函数f沿Vp的变化率。
将函数0-形式提升为1-形式，从而能与切向量配对得到方向导数!
可视化,再次加深理解!
- 微分2-形式
2.1 楔积∧
两个或两个以上微分1-形式如何相乘?
流形R中,对偶空间Tp(R)和Tp*(R)是共形的,对任意一点,过该点在两个空间中的向量V和W是同构的.
一一映射
空间中向量投影
两个1-形式的楔积是根据流形内两个向量的投影矩阵的行列式来定义的.出现楔积符号"∧",可以简单判断,进入"外微分"领域了!
2.2 微分2-形式
闭形式 (dω = 0) 和恰当形式 (ω = dα)!
衡量一个微分形式在无穷小区域上的“局部变化”!
取一个1-形式 ω = x dy，计算 dω,这就是外微分,dω就是2-形式,将1-形式ω提升一阶至2形式!
- 微分3-形式
2形式σ,dσ提升为3形式!
- 微分n-形式
内积: