三大函数性质总表

图象特征深度图解

1. 正弦/余弦的波动规律

y=sinx： 0(起) → π/2(峰) → π(零) → 3π/2(谷) → 2π(终)  
y=cosx： 1(起) → π/2(零) → π(谷) → 3π/2(零) → 2π(峰)  
波动共性：**峰-谷间距=π**，**零点间距=π**  

2. 正切图象的渐近陷阱

• 渐近线：x = kπ + π/2（虚线标出）
• 分支形态：每周期(-π/2, π/2)内： 从 -∞↗过(0,0)↗+∞
• 周期压缩：y=tan(2x)周期为 π/2（原周期÷|ω|）

高频易错点突破

1. 单调区间书写规范
   错误：sinx在[0,2π]单调增
   正解：分两段增区间 [0,π/2]∪[3π/2,2π]
2. 正切定义域漏解
3. 求y=tan(2x-π/3)定义域
   错：2x-π/3 ≠ π/2 → x≠5π/12
   正：2x-π/3 ≠ kπ+π/2 → x ≠ (kπ/2 + 5π/12)
4. 对称轴混淆
5. y=cos(2x+π/4)的对称轴？
   误用x=kπ
   解：令2x+π/4=kπ → x=(kπ - π/4)/2

性质联动解题示范

例题：求f(x)=sin(2x-π/3)在[0,π]的单调增区间
步骤：

1. 周期压缩：T=2π/2=π
2. 整体代换：令t=2x-π/3，则t∈[-π/3, 5π/3]
3. 正弦增区间：t∈[-π/2+2kπ, π/2+2kπ]
   → 取k=0：t∈[-π/2, π/2]
4. 解x范围：
   -π/2 ≤ 2x-π/3 ≤ π/2
   → -π/6 ≤ 2x ≤ 5π/6 → x∈[-π/12, 5π/12]
5. 取[0,π]交集：[0, 5π/12]