先看结论:

1. >=1+x>x >x-1>=Inx 对于任意x>=0 恒成立. (第1个等号x=0, 第2个等号 x=1)
2. >x >Inx,对于任意x,恒成立. (方便记忆版)
3. 与 Inx 为反函数,关于直线y=x 对称,y=x为对称轴.
4. 在(0,1)处的切线要平行于直线y=x.
5. Inx在(1,0)处的切线要平行于直线y=x.
6. 在(0,1)切线方程y=1+x,>1+x 表示在该切点的位置左右,不等式恒成成立
7. Inx 在(1,0)切线方程y=x-1,x-1>inx,表示在该切点的位置左右,不等式恒成立

(一)证明过程: 先证明>=1+x>x

任意一点x,要证明>x, 我们可以设f(x)=-x ,即证明f(x)>0 恒成立:

分析单调性,可以对f(x)求导(的导数为)

得到f(x)的导数f(x)'=-1.接下讨论f(x)'的正负性;

1.-1>0,则x>0 ,当x>0的时候, f(x)'>0,则f(x)在(0,正无穷)上单调递增),f(x)>f(0)

2.-1<0,则x<0,当x<0的时候,f(x)'<0,则f(x)在(负无穷,0) 单调递减,f(x)>f(0)

3.当-1=0, x=0, f(0)'=0, f(0)=1-0=1

当x=0的时候可以去得到等号

这个时候 =1+x (x=0)

即: -x>=1>0

最终得到: >=1+x>x 所以>x ,对于任意x恒成立

总结: 我们看看>=1+x>x的几何意义

1. (0,1)点是当中的一个重要的点, 该点的切线方式为 y=x+1,(可以求导代入获得斜率,写出直线方程).

由于>=1+x,代表所有的在图像的点,都切线y=x+1之上方,且与切线方程有且仅有一个交点(0,1).

所以(0,1)点是非常重要的研究点,(0,1)这个点是必然经过的定点.

2. 由于y=1+x>y=x(对称轴),对于任意的x恒成立,代表着切线y=x+1上所有的点都在y=x上方,反之也能推出y=1+x>y=x 恒成立.

3. 由于y=1+x 与y=x 斜率都为1, 则在(1,0)切线方程y=1+x 与 y=x 平行.

二: 证明:x-1>=Inx 对于任意x恒成立

设f(x)=x-1-lnx ,则证明f(x)>=0,对于任意x>0恒成立.,先对f(x)求导,来讨论f(x)单调性

f(x)'=1-1/x ,接下来分类讨论 f(x)'的正负性

1.f(x)'>0, 即 1-1/x>0, x>1,则在(1,正无穷) 单调递增, f(x)>f(1);

2.f(x)'<0,即 1-1/x<0,x<1,(x>0 定义域),则(0,1)单调递减,f(x)>f(1)

3.f(x)'=0,即1-1/x=0,x=1, f(1)=0

综合(1)(2)(3) 我们得到 在(0,正无穷上),f(x)>f(1)=0,即

f(x)>0 恒成立, 所以x-1-Inx>0 x-1>Inx,

再来看取等号的条件, 当x=1的时候, x-1=Inx 0=0可以取等号

所以f(x)>=f(1) (取等条件x=1) 即:x-1>=inx

由因为 x>x-1 对于任意x恒成立,

所以x>x-1>=Inx

总结: 我们看看x>x-1>=Inx的几何意义

1. Inx的定点为(1,0),则该点的切线方程为y=x-1 (通过Inx求导代入可以获得斜率,列出来)

由于x-1>=Inx恒成立, 在切线方程上的点y=x-1>=Inx, 表明(1,0)前后所有的切线上的点都在Inx的上方. (1,0)是In(x)与这个点切线方程的交点,也是唯一相交点.

2.y=x-1<y=x 恒成立, 即表示 Inx该点的切线方程上所有的点都在y=x之下, 也意味着Inx所有的点都在对称轴y=x的下方.

3.由于对称轴y=x 与 y=x-1 斜率都是1,所以该切线与对称轴平行.

三: 最后的总结归纳: 可以用于解题的思路如下

根据结论: >=1+x>x >x-1>Inx,对于任意x,恒成立,可以得到一些有用的推论

推论1: 若x>0, >=1+x>1 x-1>=Inx

推论2: 若x>0 x>(1+x)x>x.x >(x-1).x>=xInx (不等式同时乘以一个正数)

得到 x>x.x+x>x.x >x.x-x>=xInx..........(3.1)

推论3: 若x>0, x>xlnx 恒成立.