砍价游戏的机制很巧妙的融入了数学概念，特别是函数、极限和微分（或其离散对应，如差分）。其核心目的是制造一种“渐近逼近”的效果：前期砍价容易（增量大），后期砍价极难（增量趋近于零），让玩家感觉“永远到不了100%”，从而鼓励更多邀请。这不是随机的巧合，而是通过数学模型设计的“难度曲线”，类似于现实中的“边际收益递减”原理（经济学中常见，但这里用数学实现）。

涉及的主要数学知识

函数（Function）：整个砍价过程可以用一个函数描述总砍价进度 \( p(n) \)（或剩余百分比 \( r(n) = 100\% - p(n) \)），其中 \( n \) 是邀请的好友数量。函数设计成非线性：前期增长快，后期趋缓。

极限（Limit）：当 \( n \to \infty \)（无限邀请）时， \( p(n) \to 100\% \)，但永远不会严格等于100%（或需要极大数据的 \( n \) 才可能达到）。这制造了“Zeno悖论”（芝诺悖论）的效果：总距离有限，但步长无限缩小，永远走不完。

微分（Differentiation） 或其离散形式（差分）：每次砍价的增量 \( \delta p = \frac{dp}{dn} \)（连续模型）或 \( \Delta p_n = p(n) - p(n-1) \)（离散模型）随进度 \( p \) 递减。微分思想用于设计“增长率”随剩余减少而减小，例如增长率正比于剩余距离。

其他相关知识：

级数求和（Series Summation）：总进度是每次砍价的累加 \( p(n) = \sum_{i=1}^n \delta_i \)，其中 \( \delta_i \) 是递减序列（如几何级数、对数级数）。

指数函数与对数函数：常用于模拟“饱和增长”，如指数衰减让后期砍价接近零。

概率元素（可选）：实际游戏可能引入随机性（如每次砍价是随机变量），但数学核心仍是确定性函数；随机性让它“可能”达到100%，但期望值渐近。

这种设计在游戏化（Gamification）中很常见，目的是延长用户参与时间，增加社交传播。数学上，它确保了“公平性幻觉”：玩家觉得“再努努力就行”，但实际难度指数级上升。

数学原理讲解

假设商品总价对应100%的砍价目标。让 \( p(n) \) 表示邀请 \( n \) 个好友后的总砍价百分比（0 ≤ p(n) ≤ 100）。设计目标： \( p(0) = 0 \)， \( p(n) \) 单调递增， \( \lim_{n \to \infty} p(n) = 100 \)，但 \( p(n) < 100 \) 对于有限 \( n \)，且当 \( p \) 接近100时，增量 \( \delta_n = p(n) - p(n-1) \) 极小（如0.000...1%）。

核心原理：边际递减（Diminishing Returns）

在连续模型中，用微分方程描述：增长率 \( \frac{dp}{dn} = k \cdot (100 - p) \)，其中 \( k > 0 \) 是常数（控制速度）。这意味着砍价速度正比于剩余百分比——剩余多时砍得多，剩余少时砍得少。

解这个微分方程： \( p(n) = 100 \left(1 - e^{-k n}\right) \)。

解释：指数函数 \( e^{-k n} \) 让剩余 \( r(n) = 100 e^{-k n} \) 快速衰减到零，但永不触零。微分 \( \frac{dp}{dn} = 100 k e^{-k n} \)，当 \( n \) 大（p接近100）时， \( \frac{dp}{dn} \approx 0 \)。

在离散模型中（更贴合游戏），每次砍价 \( \delta_n = c \cdot r(n-1)^\alpha \)，其中 \( r(n-1) = 100 - p(n-1) \) 是上一步剩余， \( c > 0 \)， \( \alpha > 1 \)（放大递减效果）。这模拟微分的离散版。

为什么用极限？因为如果总和是有限的（如算术级数），玩家很快就能砍完；但用渐近函数，极限是100%，玩家需无限努力，制造“上瘾”感。实际游戏可能加随机扰动（如 \( \delta_n \) 在某个区间随机），或设置阈值（如p≥99.999%时强制到100%），但数学骨架是渐近的。

可能的函数表示方法

假设初始砍价容易（e.g., 第一位好友砍1-5%），后期极慢。参数可调以匹配游戏（e.g., k=0.1让前期快）。

指数逼近模型（Exponential Approach，最常见，模拟微分方程）

函数： \( p(n) = 100 \left(1 - e^{-k n}\right) \)， \( k \) 是增长率常数（e.g., k=0.05）。

每次增量： \( \delta_n \approx 100 k e^{-k n} \)（近似）。

示例计算（k=0.05）：

n=1： p≈4.75%， δ≈4.75%（容易）。

n=10： p≈39.3%， δ_{10}≈0.18%。

n=100： p≈99.24%， δ_{100}≈0.00025%（很小）。

n=1000： p≈99.995%， δ_{1000}≈2.5×10^{-6}%（几乎零）。

极限： n→∞, p→100%。

为什么合适？前期指数增长快，后期饱和。微分： \( \frac{dp}{dn} = 100 k e^{-k n} \)，随n衰减。

变体：加随机， \( \delta_n = \) uniform(0, 100 k e^{-k n})，让它“可能”超100%但截断。

逻辑斯蒂函数模型（Logistic Growth，S形曲线，涉及微分）

函数： \( p(n) = \frac{100}{1 + e^{-k(n - n_0)}} \)，其中 n_0 是拐点（e.g., n_0=20，让中期加速）。

每次增量： \( \delta_n \approx \frac{100 k e^{-k(n - n_0)}}{[1 + e^{-k(n - n_0)}]^2} \)。

示例（k=0.2, n_0=10）：

n=1： p≈0.0003%（如果n_0大，前期慢；调参可改）。

n=20： p≈50%。

n=50： p≈99.98%， δ_{50}≈10^{-5}%。

极限：同上，渐近100%。

为什么合适？微分方程 \( \frac{dp}{dn} = k p (100 - p)/100 \)，增长率正比于p和剩余，模拟“雪球效应+饱和”。

几何级数模型（Geometric Series，离散，无需微分但有极限）

每次砍价： \( \delta_n = \delta_0 r^{n-1} \)，其中 δ_0=初始砍价（e.g., 5%）， 0<r<1（衰减率，e.g., r=0.9）。

总进度： \( p(n) = \delta_0 \frac{1 - r^n}{1 - r} \)。

要使极限=100%，设 δ_0 = 100 (1-r)，则 p(n)=100 (1 - r^n)。

示例（δ_0=5%, r=0.95）：

n=1： p=5%。

n=10： p=40.2%， δ_{10}=5%×0.95^9≈1.4%。

n=100： p=99.3%， δ_{100}≈5%×0.95^{99}≈0.0001%。

极限： n→∞, p→100%。

为什么合适？简单实现，总和是有限几何级数，求和公式直接用极限概念。

调和级数变体（Harmonic-like，缓慢发散，但可改成收敛）

每次： \( \delta_n = \frac{c}{n} \)（c调总和），但纯调和发散慢；改成 \( \delta_n = \frac{c}{n \ln(n+1)} \) 或加指数衰减。

总： p(n) ≈ c \ln n （对数增长，极限∞但慢）。

示例（c=20）： n=1, p=20%； n=e^{4}≈55, p≈80%； n=10^6, p≈99.5%（需百万邀请）。

为什么合适？无微分，但极限发散慢，模拟“永远砍不完”。

这种设计不只数学优雅，还心理上有效：利用人类对“接近目标”的执着。