本篇证明连续函数的反函数的性质。

定理8.2.3.4单调连续函数的反函数：设函数在闭区间上单调递增并且连续，则f是闭区间到闭区间的双射，这时它的反函数也是单调递增的连续函数；设函数在闭区间上单调递减并且连续，则f是闭区间到闭区间的双射；这时它的反函数也是单调递减的连续函数。

证明：不妨设函数在闭区间上单调递增（递减时证明相仿），设，则

可见f是单射

又，有，根据介值定理8.2.3.1，，使得

可见f是满射，所以f是闭区间到闭区间的双射

下面证明它的反函数是单调递增的，如若不然，，使得

于是

这与的假设矛盾

接着证明它的反函数连续，设是 上的一个单调数列，且

由于数列单调有界，故存在

因函数连续，有

因f是单射，有

所以函数连续

证毕。

我们在例8.2.2.3已经证明了指数函数的连续性，据此可知对数函数

在上连续。

至此，我们论证了目前接触过的有理函数、幂函数、指数函数、对数函数的连续性。